Chúng có nhiều công dụng!
Một ví dụ đơn giản là một eigenvector không thay đổi hướng trong một phép biến đổi:
Làm thế nào để chúng ta tìm thấy véc tơ đó?
Toán học của nó
Đối với ma trận vuông A, một Eigenvector và Eigenvalue làm cho phương trình này đúng:
Ví dụ với ma trận
[math]
\begin{bmatrix}
-6 & 3 \\
4 & 5
\end{bmatrix}
[/math]
một eigenvector là
[math]
\begin{bmatrix}
1 \\
4
\end{bmatrix}
[/math]
Với eigenvalue là: 6
Hãy thực hiện một số phép nhân ma trận để xem điều đó có đúng không.
[imath]Av[/imath]
cho chúng ta:
[math]
\begin{bmatrix}
-6 & 3 \\
4 & 5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
4
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
-6*1 + 3*4 \\
4*1 + 5*4
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
6 \\
24
\end{bmatrix}
[/math]
[imath]λv[/imath]
Cho chúng ta:
[math]
6 \begin{bmatrix}
1 \\
4
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
6 \\
24
\end{bmatrix}
[/math]
Vì vậy, chúng ta nhận được
[imath]Av = λv[/imath]
.
Làm thế nào để chúng ta tìm thấy những điều đặc biệt này?
Chúng ta bắt đầu bằng cách tìm eigenvalue. Chúng ta biết phương trình này phải đúng:
[math]Av = λv[/math]
Tiếp theo, chúng ta đưa vào một ma trận đơn vị để chúng ta xử lý ma trận với ma trận:
[math]Av = λIv[/math]
Đưa tất cả sang bên trái:
[math]Av − λIv = 0[/math]
Nếu
[imath]v[/imath]
khác 0 thì chúng ta có thể (hy vọng) giải được
[imath]λ[/imath]
chỉ bằng cách sử dụng định thức:
[math]| A − λI | = 0[/math]
Bắt đầu với
[imath]| A - λI | = 0[/imath]
:
[math]
|
\begin{bmatrix}
-6 & 3 \\
4 & 5
\end{bmatrix}
− λ
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} | = 0[/math]
Đó là:
[math]
\begin{bmatrix}
−6−λ & 3 \\
4 & 5−λ
\end{bmatrix} = 0
[/math]
Tính toán định thức đó nhận được:
[math]λ^2 + λ − 42 = 0[/math]
Giải nó chúng ta tính được:
[imath]λ = −7 [/imath]
hoặc
[imath]6[/imath]
Và chúng ta có 2 eigenvalues có thể xảy ra.
