Một biến ngẫu nhiên có "infinite variance" (phương sai vô hạn) nghĩa là gì? Điều đó có nghĩa là gì đối với một biến ngẫu nhiên có kỳ vọng vô hạn(infinite expectation)? Lời giải thích trong cả hai trường hợp khá giống nhau, vì vậy chúng ta hãy bắt đầu với trường hợp kỳ vọng, và sau đó là phương sai.
Gọi
[imath]X[/imath]
là một biến ngẫu nhiên liên tục (random variable-RV) (kết luận sẽ có giá trị tổng quát hơn, đối với trường hợp rời rạc, hãy thay tích phân bằng tổng). Để đơn giản hóa việc giải thích, hãy giả sử
[imath]X≥0[/imath]
Kỳ vọng của nó được xác định bởi tích phân
[math]
EX = \int_{0}^{\infty} xf(x)dx
[/math]
khi tích phân đó tồn tại, nghĩa là hữu hạn. Nếu không, chúng ta nói rằng kỳ vọng không tồn tại. Đó là một tích phân không đúng, và theo định nghĩa là
[math]
\int_{0}^{\infty} xf(x)dx = \lim_{x \to \infty} \int_{0}^{a} xf(x)dx
[/math]
Để giới hạn đó là hữu hạn, phần đóng góp từ đuôi phải biến mất, tức là chúng ta phải có
[math]
\lim_{x \to \infty} \int_{a}^{\infty} xf(x)dx = 0
[/math]
Điều kiện cần (nhưng không đủ) để điều đó xảy ra là
[imath]\lim_{x \to \infty} xf(x)= 0[/imath]
. Điều kiện ở trên nói lên điều gì?, đó là đóng góp vào kỳ vọng từ đuôi (bên phải) phải biến mất. Nếu không phải như vậy, kỳ vọng bị chi phối bởi sự đóng góp từ các realized values lớn một cách tùy tiện. Trong thực tế, điều đó có nghĩa là các phương tiện thực nghiệm sẽ rất không ổn định, bởi vì chúng sẽ bị chi phối bởi các realized values rất lớn không thường xuyên. Và lưu ý rằng tính không ổn định này của sample means sẽ không biến mất với các mẫu lớn. Nó là một phần tích hợp của mô hình!
Trong nhiều tình huống, điều đó có vẻ không thực tế. Giả sử một mô hình bảo hiểm (nhân thọ). X mô hình hóa tuổi thọ của con người. Chúng ta biết rằng, giả sử
[imath]X > 1000[/imath]
không xảy ra, nhưng trong thực tế, chúng ta sử dụng các mô hình không có giới hạn trên.
Lý do rất rõ ràng: Không có giới hạn trên fix cứng, nếu một người (giả sử) 110 tuổi, không có lý do gì người đó không thể sống thêm một năm nữa! Vì vậy, một mô hình có giới hạn trên cứng dường như hơi giả tạo. Tuy nhiên, chúng ta không muốn phần đuôi ở cực trên có nhiều ảnh hưởng.
Nếu
[imath]X[/imath]
có kỳ vọng hữu hạn, thì chúng ta có thể thay đổi mô hình để có giới hạn trên cố định mà không ảnh hưởng quá mức đến mô hình. Trong các tình huống có giới hạn trên mờ (fuzzy) có vẻ tốt. Nếu mô hình có kỳ vọng vô hạn, thì bất kỳ giới hạn trên fix cứng nào mà chúng ta đưa vào mô hình sẽ gây ra hậu quả đáng kể! Đó là tầm quan trọng thực sự của kỳ vọng vô hạn.
Với kỳ vọng hữu hạn, chúng ta có thể fuzzy (mờ) về giới hạn trên. Với kỳ vọng vô hạn, chúng ta không thể.
