Đạo hàm là một hàm số về tỷ lệ của sự thay đổi.
Ví dụ: xét hàm số
[imath]s(t) = t^2[/imath]
mô tả một chiếc ô tô đang lăn xuống dốc
Đồ thị của hàm
[imath]s(t) = t^2[/imath]
là một đường parabol
Chúng ta có một số cách để nghĩ về vận tốc của ô tô theo hàm
[imath]s[/imath]
Cách nghĩ về vận tốc thứ 1
Tại thời điểm
[imath]t = a[/imath]
vận tốc
[imath]v(a)[/imath]
là:
[math]
v(a) = \lim_{t \to a} \frac{s(t) - s(a)}{t - a }
[/math]
Có thể bạn cần xem lại bài viết về giới hạn của mình.
Vận tốc trung bình trong khoảng
[imath](a, t)[/imath]
tiệm cận với vận tốc tức thời khi khoảng thời gian này trở nên ngắn hơn. Suy nghĩ đi bro vận tốc trung bình trên quãng đường là gì? và thế nào gọi là vận tốc tức thời. Nếu quãng đường trở nên rất nhỏ có phải là nó tiệm cận gần nhau đúng không.
Chúng ta đặt
[imath]h = t - a [/imath]
và viết lại công thức dưới dạng sai phân.
[imath] h[/imath]
đơn giản là thời gian giữa 2 thời điểm thôi.
[math]
\frac{s(a+ h) - s(a)}{h}
[/math]
Vậy giới hạn của chúng ta có dạng:
[math]
v(a) = \lim_{h \to 0} \frac{s(a+ h) - s(a)}{h}
[/math]
Trong ví dụ này khi
[imath]s(t) = t^2[/imath]
. Chúng ta có thể thực sự tính được giá trị của biểu thức này:
[math]v(a) = \lim_{h \to 0} \frac{(a+ h)^2 - a^2}{h} [/math]
[math]v(a) = \lim_{h \to 0} \frac{a^2+ 2ah + h^2 - a^2}{h}[/math]
[math]v(a) = \lim_{h \to 0} (2a + h) = 2a [/math]
Nhớ xem lại bài giới hạn để biết tính giới hạn nhé.
Kết quả:
[imath]2a[/imath]
chính là vận tốc của ô tô tại thời điểm
[imath]t = a [/imath]
Cách nghĩ thứ 2
Trên đồ thị
[imath]y = s(t)[/imath]
vận tốc
[imath]v(a)[/imath]
tại thời điểm
[imath]a[/imath]
là độ dốc của đồ thị tại
[imath] t = a[/imath]
Bởi chúng ta định nghĩa độ dốc của đường cong là độ dốc của đường thẳng khi chia nhỏ đường cong.
Ta có tỷ lệ:
[math]
\frac{s(a+ h) - s(a)}{h}
[/math]
Là độ dốc của đường thẳng, hay còn gọi là dây cung, nối hai điểm trên đường cong:
[imath]P = (a, s(a)) [/imath]
và
[imath]Q = (a + h , s(a+h))[/imath]
.
Khi
[imath]h \to 0[/imath]
[imath]Q[/imath]
trượt tới
[imath]P[/imath]
và độ dốc tiệm cận độ dốc của đường cong tại điểm
[imath]P[/imath]
nếu
[imath]s(t) = t^2[/imath]
chúng ta tính được độ dốc này là
[imath]2a [/imath]
Sau đó
Chúng ta có thể thay thời điểm
[imath]a[/imath]
thành thời điểm
[imath]t[/imath]
hay thời điểm
[imath]t_1, t_2, t_3 ... t_n [/imath]
Và chúng ta có một hàm số của độ dốc tại mỗi thời điểm
[imath]t[/imath]
. Hàm số này gọi là đạo hàm
Ký hiệu
Đạo hàm của hàm
[imath] f [/imath]
ký hiệu là
[imath]f'[/imath]
.
[imath]f'(x) [/imath]
là độ dốc của đồ thị
[imath]y =f(x)[/imath]
tại điểm
[imath](x, f(x))[/imath]
.
Cách tính
Việc tìm đạo hàm của hàm
[imath]f'[/imath]
được gọi là lấy vi phân hàm số
[imath]f[/imath]
[imath]f'(x) [/imath]
được tính như đã trình bày ở trên:
[math]f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/math]
Với
[imath]x[/imath]
thuộc nơi mà giới hạn này tồn tại
